МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Національний університет “Львівська політехніка” кафедра САПР З В І Т до лабораторної роботи №2 з курсу: “ Геометричне моделювання у конструюванні інженерних об’єктів і систем ” на тему: “ Афінні перетворення та анімація засобами мови TURBO PASCAL версії 7.0.”  Тема роботи: Афінні перетворення та анімація засобами мови TURBO PASCAL версії 7.0. Мета роботи: ознайомитись із законами руху геометричних об'єктів на площині та у просторі. Оволодіти математичною мовою опису динаміки та візуалізації на основі закономірностей геометричних перетворень. Набути практичних навиків розробки графічних процедур у середовищі TURBO PASCAL в графічному режимі . Короткі теоретичні відомості Геометричне перетворення - це відображення р' = f(р) точки р є Rn n- мірного простору образу в точку р' є Rn’ n’ -мірного простору перетворення (де Rn - евклідів простір розмірності п. Геометричне перетворення поділяються на нелінійні (наприклад, відображення у кривому дзеркалі) та лінійні. Лінійне перетворення точки описується векторним рівнянням: р'= рА + В з матрицями перетворення А є Rn×n та В є Rl×n, що не залежать від вектора p/ У залежності від розмірності просторів п, n’ та властивостей матриці А лінійні перетворення поділяються на невироджені (афінні) та вироджені (проективні). Властивості афінного перетворення: п = n’, rang(А) = п (де rang(A) — ранг матриці А, рівний числу її лінійно незалежних строк чи стовпців), що означає квадратність та невиродженість матриці А. Існування зворотної матриці А1 дозволяє по точці р' відновити точку образу р: р = (р'-В)А-1 При проективному перетворенні т<п та не існує оберненої матриці А , тому однозначне відновлення образу за прообразом неможливе через втрату інформації про одну чи декілька координат образу. Афінні перетворення (від англ. affinity — подібність) — точкові взаємно однозначні відображення площини (простору) на себе, при яких прямі переходять у прямі. Якщо на площині задана декартова система координат, то кожне афінне перетворення цієї площини може бути визначене за допомогою так званого невирожденого лінійного перетворення координат х та у точок цієї площини. Кожний афінний простір може бути визначений за допомогою невирождених лінійних перетворень координат точок простору. Сукупність усіх афінних перетворень площини (простору) на себе утворить групу афінних перетворень. Це означає, зокрема , що послідовне проведення двох афінни перетворень еквівалентно деякому одному афіннму перетворенню. Прикладами афінних перетворень можуть бути ортогональне перетворення (це перетворення є переміщення чи площини чи простору, переміщення із дзеркальним відображенням); перетворення подоби; рівномірне „стиснення". Рівномірне „стиснення" з коефіцієнтом к площини п до розташованого на ній прямої а — перетворення, при якому точки а залишаються на місці, а кожна точка М, що не лежить на а площини n зміщається по променю, що проходить через М перпендикулярно а, у таку точку М', що відношення відстаней від М i М' до а дорівнює к, аналогічно визначається рівномірне "стиснення" простору до площини. Всяке афінне перетворення площини можна одержати, виконавши деяке ортогональне перетворення і послідовне „стиснення" до деяких двох перпендикулярним прямим. Кожне афінне перетворення простору можна здійснити за допомогою деякого ортогонального перетворення і послідовних „стиснень" до деяких трьох взаємно перпендикулярним площинам. При афінному перетворенні паралельні прямі та площини перетворяться в паралельні прямі та площини. Властивості афінних перетворень широко використовуються в різних розділах математики, механіки і теоретичної фізики. Так, у геометрії афінні перетворення застосовуються для так званої афінної класифікації фігур. У механіці афінні перетворення використовуються при вивченні малих деформацій безупинного суцільного середовища; при таких деформаціях малі елементи середовища в першому наближенні піддаються афінному перетворенню. Афінне перетворення має наступні властивості...